Закінчивши з відзнакою полтавську класичну гімназію (1869), вступив на медичний факультет Київського університету, по закінченні якого обирає посаду земського дільничого  лікаря в Миргороді.
    У 1883 році О.Т. Богаєвського запрошують на посаду старшого лікаря Кременчуцької губернської земської лікарні. За роки його діяльності (1883 - 1913 роки) лікарня стає кращою в Лівобережній Україні як по обладнанню, так і за обсягом і рівнем медичної допомоги. В цій лікарні він розгорнув хірургічну діяльність, яка за своїм обсягом і якістю перевершувала роботу багатьох університетських клінік.  О. Т. Богаєвський першим в Україні у 1897 р. зробив резекцію шлунка при раковому захворюванні з успішним віддаленим наслідком.  До лікарні, де він працював у Кременчуці, прагнули потрапити для удосконалення численні студенти і лікарі.  18 березня 1911 року рада професорів медичного факультету Київського університету присвоїла йому ступінь доктора медицини без захисту дисертації. Це була надзвичайно висока честь.
    Талановитий хірург  брав активну участь в житті міста Кременчука. Він - голова Кременчуцького суспільства лікарів, голосний міської думи. Завдяки його невтомній діяльності в Кременчуці з'являються: водопровід, дезінфекційна камера, побудовано нову будівлю жіночої гімназії, відкрито комерційне училище, Пушкінська народна аудиторія. О. Т. Богаєвський був засновником директором акушерсько-фельдшерської школи, розташованої на території губернської земської лікарні. Її офіційне відкриття відбулося 14 вересня 1904 року.
    До останніх днів О. Т. Богаєвський не поривав зв'язків з наукою. Наукова спадщина видатного хірурга складає близько 87 наукових робіт, які стосувалися питань хірургічної практики. Досить часто виступав з лекціями й доповідями на з’їздах хірургів, брав активну участь у роботі Кременчуцького товариства лікарів. Він належав до тієї славної плеяди провінційних лікарів, які в тяжких умовах царської Росії робили все можливе для того, щоб хірургія служила інтересам народу. І тому згадка про нього залишиться в пам’яті нащадків.




1.Альманах пошани й визнання Полтавщини:100 видатних особистостей Полтавщини минулих століть : презентаційно-іміджне видання. - Полтава : Артполіграфсервіс, 2012. - 208 с.
2.Бакай Л. А. Талант i слава хірурга // Зоря Полтавщини . - 2007. -  №16-17. - 2 лютого.- С. 5
3.Бурлаченко И.  Искажаются факты, касающееся жизни А. Т. Богаевского// Iнформацiйний бюлетень . - 1999. – 26 лютого. - С.7
4.Волошин А. Сподвижник кременчуцької медицини // АVтограф . - 2005.- № 24. - 16 червня. - С. 13
5.Ганіткевич Я.   Iсторiя украiнськоi медицини в датах та iменах. - Львiв, 2004. - 368с
6.Євселевський Л.І.   О.Т.Богаєвський - лікар, громадський діяч. Вип.1. - Кременчук: б. в., 1995. - 41 с.
7.Карнаух В.  Хiрург Божою милiстю// Зоря Полтавщини. - 1998. – 25 грудня. - С. 4
8.Малик М.   80 років від дня смерті хірурга та громадського діяча Богаєвського Овсентія Трохимовича. // Край. - 2010. - 29 Листопад-5 Грудень (№ 12). - С.19
9.Незвичайні особистості в історії Кременчука. - Кременчук : Вид-во ПП Щербатих О. В., 2012. - 19 с.
10.Сергиевский А. Его хирургическим мастерством восхищались врачи из Австро-Венгрии // Кремiнь . - 2003. - № 20.- 16 травня. - С. 4
11.Сергиевский А. "Смертность у нас хорошая"// Кремiнь . - 2001.- №28. - 20 липня. - С. 9
12.Ткаченко В. Вулицями рідного міста : [про лікаря Богаєвського] // Кременчуцька газета. – 2016. - №34. – С. 4
13.Федько В. Т. Історичні сторінки медичної служби Кременчука. – Кременчук, 2002. – С. 13; 70
14.Федько В. Хiрург вiд Бога // Вiсник Кременчука . - 2003. - № 38.- 18 вересня. - С.11
15.Федько В. Невiдомi сторiнки з бiографii вiдомого лiкаря // Вiсник Кременчука . - 2000. - 5 грудня. - С. 3
16.Федько В.   Унашому мiстi працювали видатнi лiкарi // Усе про здоров'я . - 2000. -2 листопада. - С. 2
17.Федько В.  Iсторiя об'єднала три постатi // Вiсник Кременчука . - 1999. – 19 жовтня. - С. 3
18.Федько В.  Наш видатний земляк // Інформацiйний бюлетень . - 1999. - 15сiчня. - С. 6
19.Федько В.  "Светя другим, сгораю"// Вiсник Кременчука . - 1999. – 17 червня. - С. 8
20.Федько В. Авксентий Богаевский: потомки дворянина оказались интеллигентнее…// Iнформацiйний бюлетень . - 1999. – 19 березня. - С.16
21.Шевченко-Василенко В. Є.   Полтавська губернія : [у 3 т.] Т.1, кн.2 : Коротка історія у контексті історії Руси-України : видатні особистості. - Харків : Майдан, 2014. - 524 с.